초등수학 2학년 1학기 6단원. 곱셈 - 사탕 포장 기계로 알아보는 곱셈
안녕하세요! 초등 수학 개념을 쉽고 재미있게 전하는 기역샘입니다. 오늘은 초등학교 2학년 1학기 6단원에서 배우는 곱셈을, 사탕 포장 기계라는 상황을 통해 알아봅니다. 같은 양을 여러 번 반복해서 담는 경험을 통해 곱셈식이 뜻하는 두 가지 의미부터, '몇 배'의 두 가지 쓰임, 그리고 배열과 수직선으로 곱셈을 확인하는 방법까지 시각 자료와 함께 차근차근 정리해 드립니다.
마트에서 파는 사탕은 봉지마다 사탕 개수가 똑같습니다. 어떻게 이렇게 정확하게 담을 수 있을까요?
사탕 공장에는 사탕을 봉지에 담아 주는 특별한 기계가 있습니다. 바로 사탕 포장 기계입니다. 오늘은 이 기계를 통해 곱셈이 진짜로 무엇을 뜻하는지 하나씩 알아보겠습니다.
1. 사탕 포장 기계를 소개합니다
이 기계 위에는 사탕을 올려놓는 투명한 접시가 있습니다. 그리고 앞쪽에는 숫자가 적힌 버튼이 나란히 있습니다.
- 접시에 놓인 사탕은 '봉지 하나에 들어갈 양'을 나타냅니다.
- 버튼에 적힌 숫자는 '봉지를 몇 개 포장할 것인가'를 나타냅니다.
사탕은 모두 몇 개일까요? — 곱셈식 만들기
접시에 사탕 3개를 올려놓아 보겠습니다. 그리고 버튼 3을 눌러 보겠습니다.
찰칵! 기계가 작동하면 옆에 있는 큰 통에서 사탕이 흘러나와, 접시와 똑같은 양씩 봉지 세 개에 나뉘어 담깁니다.
봉지마다 사탕이 3개씩 들어 있죠. 사탕은 모두 몇 개일까요?
하나씩 세어 보면 3, 6, 9…… 모두 9개입니다. 덧셈식으로 쓰면
3 + 3 + 3 = 9
그런데 똑같은 숫자를 여러 번 더하는 것은 쓰기에 번거롭습니다. 그래서 더 짧게 쓰는 방법이 있습니다. 바로 곱셈식입니다.
3 × 3 = 9
'사탕 3개씩 3봉지는 모두 9개'라는 뜻입니다.
곱셈식 속 두 숫자, 뜻이 같을까요?
그런데 여기서 조심할 것이 하나 있습니다. 3 × 3 = 9에서 앞의 3과 뒤의 3은 숫자는 같지만 뜻은 완전히 다릅니다.
- 앞의 3은 접시에 놓인 사탕, 즉 한 봉지에 들어가는 사탕 개수입니다.
- 뒤의 3은 버튼의 숫자, 즉 봉지가 몇 개 만들어졌는지를 나타냅니다.
숫자만 보면 똑같아 보여도, 하나는 '사탕 개수'이고 다른 하나는 '봉지 개수'입니다. 그래서 곱셈식을 볼 때는 각 숫자가 무엇을 나타내는지 먼저 생각해야 합니다.
이번에는 접시에 사탕을 4개 올려놓고 버튼 3을 눌러 보겠습니다. 사탕 4개씩 봉지 세 개가 만들어집니다.
4 × 3 = 12
이번엔 앞의 4가 사탕 개수, 뒤의 3이 봉지 개수입니다. 뒤에 있는 숫자를 무조건 '사탕 개수'라고 생각하면 안 됩니다. 접시와 버튼, 두 숫자가 각각 무엇을 나타내는지 매번 잘 살펴봐야 합니다.
'몇 배'란 무엇일까요?
접시에 사탕 2개를 올려놓아 보겠습니다. 이 사탕 2개를 기준으로 삼아 보겠습니다.
- 버튼 1을 누르면 봉지가 한 개 만들어집니다. 기준량 그대로입니다.
- 버튼 2를 누르면 봉지가 두 개 만들어집니다. 기준량의 2배가 됩니다.
- 버튼 3을 누르면 봉지가 세 개 만들어집니다. 기준량의 3배가 됩니다.
2의 3배는 2 + 2 + 2 = 6, 즉 2 × 3 = 6입니다.
'배'는 기준이 되는 양이 몇 번 반복됐는지를 나타내는 말입니다.
소미의 사탕은 도율이의 사탕의 몇 배일까요? — 두 양 비교하기
지금까지는 기준이 되는 양에 버튼을 눌러서 '몇 배로 늘어나는지'를 살펴보았습니다. 그런데 '몇 배'는 반대 방향으로도 쓰입니다. 이미 정해진 두 사람의 사탕 개수를 보고, 한쪽이 다른 쪽의 몇 배인지 알아내는 것입니다.
소미는 사탕을 6개 가지고 있습니다. 도율이는 사탕을 2개 가지고 있습니다.
"소미의 사탕은 도율이의 사탕의 몇 배일까요?"
이런 문제는 숫자만 봐서는 답이 바로 보이지 않습니다. 도율이의 사탕 2개를 '한 덩어리'로 정해 놓고, 소미의 사탕 6개를 그 덩어리만큼씩 묶어 세어 보아야 합니다.
소미의 사탕을 2개씩 묶어 보면 2개, 2개, 2개, 이렇게 세 덩어리가 나옵니다.
도율이의 사탕(2개)만 한 덩어리가 소미의 사탕(6개) 안에 세 번 들어 있으니, 소미의 사탕은 도율이의 사탕의 3배입니다.
사탕 포장 기계로 다시 생각해 볼까요? 도율이의 사탕 2개를 접시에 올려놓았다고 해보겠습니다. 이 접시로 소미의 사탕(6개)만큼 포장하려면 버튼을 몇 번 눌러야 할까요? 2개씩 나오는 봉지가 3개가 되어야 6개가 되므로, 눌러야 할 버튼은 3입니다. 그래서 소미의 사탕은 도율이의 사탕의 3배인 것입니다.
식으로 쓰면 이렇게 정리할 수 있습니다.
도율이의 사탕(2) × 몇 배( ) = 소미의 사탕(6)
2 × 3 = 6이므로, 몇 배는 3입니다.
문제를 하나 더 풀어 보겠습니다.
민준이는 사탕을 12개 가지고 있습니다. 시우는 사탕을 4개 가지고 있습니다. 민준이의 사탕은 시우의 사탕의 몇 배일까요?
시우의 사탕(4개)을 한 덩어리로 놓고, 민준이의 사탕(12개)을 4개씩 묶어 봅니다. 4개, 8개, 12개…… 세 번 묶이니 3덩어리입니다.
4 × 3 = 12이므로, 민준이의 사탕은 시우의 사탕의 3배입니다.
이렇게 '○○는 ○○의 몇 배인가요?'라는 문제를 만나면, 작은 쪽의 양을 한 덩어리로 삼아 큰 쪽의 양을 그만큼씩 묶어 세어 보면 됩니다. 몇 덩어리가 나오는지가 바로 '몇 배'입니다.
다른 방법으로 확인해요 ① — 가로세로로 줄 세우기
기계가 포장을 잘했는지 다른 방법으로도 확인해 볼 수 있습니다. 방금 만든 사탕 4개씩 세 봉지를 풀어서, 이번에는 사탕을 가로세로로 가지런히 줄 세워 보겠습니다.
가로로 보면 한 줄에 4개씩, 줄이 3개 있으니 4 × 3 = 12입니다.
그런데 이 사탕들을 하나도 옮기지 않고 바라보는 방향만 바꾸어 세로로 세어 보면 어떻게 될까요?
이번엔 한 줄에 3개씩, 줄이 4개이니 3 × 4 = 12입니다.
사탕을 하나도 옮기지 않았는데 두 곱셈식의 답이 똑같습니다. 이렇게 곱셈은 두 숫자의 순서를 바꾸어도 답이 같습니다. 신기하지 않나요?
다른 방법으로 확인해요 ② — 수직선 위에서 뛰기
곱셈을 확인하는 방법이 하나 더 있습니다. 이번에는 수직선 위에서 뛰어 보겠습니다.
0에서 시작해서 3칸씩 뛴다고 생각해 보겠습니다.
- 첫 번째 점프: 0 → 3
- 두 번째 점프: 3 → 6
- 세 번째 점프: 6 → 9
- 네 번째 점프: 9 → 12
3칸씩 네 번 뛰었더니 12에 도착했습니다. 이것도 3 × 4 = 12로 나타낼 수 있습니다.
정리해 볼까요?
사탕 포장 기계로 만든 4개씩 3봉지도, 사탕을 4줄로 줄 세운 것도, 수직선에서 3칸씩 네 번 뛴 것도 모두 답은 12로 똑같습니다. 모양은 다르지만 그 안에는 '같은 양이 여러 번 반복된다'는 똑같은 생각이 숨어 있습니다.
그리고 '몇 배'는 두 가지 방향으로 쓸 수 있다는 것도 기억해 주세요. 기준량에 배수를 곱해서 결과를 구할 수도 있고, 이미 정해진 두 양을 비교해서 몇 배인지 거꾸로 찾을 수도 있습니다.
이건 곱셈이 아니에요
그런데 이 포장 기계로는 안 되는 경우도 있습니다.
사탕이 3개 담긴 접시와 5개 담긴 접시가 있다고 해보겠습니다. 이것을 3 × 2라고 할 수 있을까요?
아닙니다! 이 기계는 접시 하나에 올린 '똑같은 양'을 여러 봉지에 반복해서 담을 때만 쓸 수 있습니다. 3개와 5개는 서로 다른 양이기 때문에, 이럴 때는 곱셈이 아니라 그냥 더해서 3 + 5 = 8로 계산해야 합니다.
오늘의 그리기 과제
곱셈 이야기는 아직 더 남아 있어서 다음 편에 이어서 알아보겠습니다. 오늘 배운 것부터 빈 종이에 직접 그려 보면 훨씬 오래 기억할 수 있습니다.
- 사탕 5개씩 3봉지를 그리고 곱셈식으로 나타내기
- 같은 사탕을 가로세로로 줄 세워서 두 가지 곱셈식 만들어보기
- 수직선에 내가 정한 크기만큼 4번 뛰어서 도착점 찾고 곱셈식으로 나타내기
- 나와 친구의 딱지(또는 구슬) 개수를 세어 보고, 누가 누구의 몇 배인지 묶어 세어서 알아보기